Δευτέρα, 21 Δεκεμβρίου 2009

Το δωδεκάεδρο των Χριστουγέννων.

Πλησιάζουν τα Χριστούγεννα, η Πρωτοχρονιά, διακοσμούμε τα σπίτια μας με αστεράκια, έλατα, άλλα στολίδια, αγοράζουμε ημερολόγια για τη νέα τη χρονιά. Η ατμόσφαιρα λοιπόν, εμπνέει για κατασκευές.

...και υπάρχει ένα στερεό, που είναι πραγματικά καταπληκτικό για την περίοδο αυτή! Με μικρές παραλλαγές, μπορεί να γίνει ημερολόγιο ή και τρισδιάστατο αστέρι! Πρόκειται για το δωδεκάεδρο, το πλατωνικό στερεό που έχει 12 έδρες (εξ ού και δωδεκάεδρο), που η καθεμιά είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Και μόνο του έτσι, θυμίζει πολύ μια μπάλα για το χριστουγεννιάτικο δέντρο...

Το γεγονός όμως ότι έχει 12 έδρες, δηλαδή όσοι και οι μήνες του χρόνου, το έχει καταστήσει ως το ιδανικό στερεό για την κατασκευή ενός τρισδιάστατου ημερολόγιου. Και επειδή κάτι τέτοιο ακούγεται ενδιαφέρον, μπορείτε να κατεβάσετε ένα αρχείο από εδώ, για το ημερολόγιο του 2010.

Βέβαια, θα διαπιστώσετε ότι οι 12 έδρες δεν είναι "προνόμιο" μόνο του δωδεκάεδρου, αλλά και του ρομβοδωδεκάεδρου. Γι' αυτό και ο Ole Arnzen προτείνει συνολικά δύο μορφές ημερολογίων που μπορείτε να επιλέξετε από εδώ (ευτυχώς, μας σκέφτηκε και εμάς τους Έλληνες).

Υπάρχει όμως και μια τρίτη πρόταση, που απαιτεί μόνο κόψιμο (όχι διπλώσεις, όχι κόλα). Αυτή η πρόταση βασίζεται στην επέκταση του πενταγώνου σε μια ωραία πενταγωνική μαργαρίτα (παρακάτω σχήμα). Κόψετε 12 τέτοιες μαργαρίτες (τις έντονες γραμμές) και ενώστε τις, όπως περιγράφεται στο επόμενο βίντεο, για να δημιουργήσετε ένα τρισδιάστατο ημερολόγιο του 2010. Το πλήρες ημερολόγιο, με τις 12 μαργαρίτες, θα το βρείτε εδώ.
Φυσικά, μια πιο γνώριμη επέκταση του κανονικού πενταγώνου είναι η γνωστή πεντάλφα, δηλαδή το αστεράκι με τις 5 ακτίνες. Ενώστε τις ακτίνες αυτού του αστεριού και θα πάρετε μια πενταγωνική πυραμίδα. Κατασκευάστε 12 τέτοιες πυραμίδες, κολήστε τις σε ένα δωδεκάεδρο που οι έδρες του θα είναι ίσα πεντάγωνα με τις βάσεις των πυραμίδων και... θα έχετε ένα τρισδιάστατο αστέρι, έτοιμο για το δέντρο σας! Θα σας βοηθήσει και η πληροφορία εδώ. Πάντως, εμείς οι μαθηματικοί λέμε πως το αστέρι αυτό είναι η μικρή αστεροποίηση του δωδεκάεδρου.




Δευτέρα, 20 Απριλίου 2009

Παιχνιδιάρικος κύβος



Παρατηρήστε το παραπάνω βίντεο. Τα δύο μέρη του "παιχνιδιάρικου κύβου" μπορούν να "μεταμορφωθούν" σε δυο "στερεά του Escher". Πρόκειται για την "1η αστεροποίηση του ρομβοδωδεκάεδρου" που προκύπτει από το ρομβοδωδεκάεδρο με προέκταση των εδρών του. Το "στερεό του Escher" έχει την ιδιότητα να πληρώνει το χώρο, που σημαίνει ότι "άπειρα" αντίγραφά του, κατάλληλα τοποθετημένα, καλύπτουν χωρίς κενά ή επικαλύψεις, ολόκληρο το χώρο, όπως συμβαίνει και με τους κύβους.
Ένα μιρό σχόλιο για τη δομική μονάδα του "παιχνιδιάρικου κύβου" που εικονίζεται στο παραπάνω σχέδιο: Αν πούμε ότι η μισή πλευρά του τετραγώνου είναι α (2 στο βίντεο), τότε τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν σκέλη ίσα με α*sqrt(3), επομένως, το ύψος τους είναι α*sqrt(2). Στο βίντεο αυτό το μήκος είναι 2,8 ενώ το σωστό θα ήταν 2,83.

Εδώ θα βρείτε οδηγίες για να κατασκευάσετε ένα "στερεό του Escher" με χαρτοδιπλωτική: http://www.origami.gr.jp/Archives/Etc/convention02/SR_Dodecahedron1.pdf
και εδώ θα βρείτε γενικότερα στοιχεία για τους παιχνιδιάρικους κύβους: http://www.mathematische-basteleien.de/magiccube.htm
http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/MFC/MFC.html

Καλειδόκυκλοι από ένα φύλλο χαρτί



Οι καλειδόκυκλοι είναι τρισδιάστατοι δακτύλιοι, αποτελούμενοι από μια αλυσίδα από τετράεδρα. Αρχικά, ο γραφίστας Wallace Walker σχεδίασε το σχηματισμό IsoAxis (U.S. Patent no. 3302321), ενώ ήταν ακόμα φοιτητής στο Cranbrook Academy of Art του Μίτσιγκαν (1958). Όταν ο δισδιάστατος σχηματισμός IsoAxis έπαιρνε την μορφή δακτυλίου, αυτός, καθώς αναδιπλωνόταν άλλαζε 4 διαφορετικές τρισδιάστατες μορφές. Μελετώντας τους μαθηματικούς μετασχηματισμούς που μεταμόρφωναν το IsoAxis στον "πολύμορφο" τρισδιάστατο δακτύλιο, η μαθηματικός Doris Schattschneider, οδηγήθηκε στην ανακάλυψη της απειράριθμης οικογένειας των καλειδόκυκλων. Η ονομασία τους (kaleidocycle) προέρχεται, όπως αναφέρουν και στο βιβλίο τους από τα ελληνικά καλός (good) + είδος (kind) + κύκλος (of cicle).

Περισσότερες πληροφορίες για τους καλειδόκυκλους, μπορείτε να αναζητήσετε στο βιβλίο των Doris Schattschneider και Wallace Walker, που συνοδεύεται με "κουτί κατασκευών" καλειδόκυκλων που "εκμεταλλεύονται" τις συμμετρίες των μωσαϊκών του M. C. Escher.

Εδώ απλώς να αναφέρουμε ότι στο βιντεο παραπάνω ο καλειδόκυκλος που δημιουργείται είναι εξαγωνικός, ενώ μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι οκταγωνικοί. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην αέναη περιστροφική κίνηση του καλειδόκυκλου.

Δείτε επίσης το http://www.mathematische-basteleien.de/kaleidocycles.htm