Δευτέρα, 20 Απριλίου 2009

Παιχνιδιάρικος κύβος



Παρατηρήστε το παραπάνω βίντεο. Τα δύο μέρη του "παιχνιδιάρικου κύβου" μπορούν να "μεταμορφωθούν" σε δυο "στερεά του Escher". Πρόκειται για την "1η αστεροποίηση του ρομβοδωδεκάεδρου" που προκύπτει από το ρομβοδωδεκάεδρο με προέκταση των εδρών του. Το "στερεό του Escher" έχει την ιδιότητα να πληρώνει το χώρο, που σημαίνει ότι "άπειρα" αντίγραφά του, κατάλληλα τοποθετημένα, καλύπτουν χωρίς κενά ή επικαλύψεις, ολόκληρο το χώρο, όπως συμβαίνει και με τους κύβους.
Ένα μιρό σχόλιο για τη δομική μονάδα του "παιχνιδιάρικου κύβου" που εικονίζεται στο παραπάνω σχέδιο: Αν πούμε ότι η μισή πλευρά του τετραγώνου είναι α (2 στο βίντεο), τότε τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν σκέλη ίσα με α*sqrt(3), επομένως, το ύψος τους είναι α*sqrt(2). Στο βίντεο αυτό το μήκος είναι 2,8 ενώ το σωστό θα ήταν 2,83.

Εδώ θα βρείτε οδηγίες για να κατασκευάσετε ένα "στερεό του Escher" με χαρτοδιπλωτική: http://www.origami.gr.jp/Archives/Etc/convention02/SR_Dodecahedron1.pdf
και εδώ θα βρείτε γενικότερα στοιχεία για τους παιχνιδιάρικους κύβους: http://www.mathematische-basteleien.de/magiccube.htm
http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/MFC/MFC.html

Καλειδόκυκλοι από ένα φύλλο χαρτί



Οι καλειδόκυκλοι είναι τρισδιάστατοι δακτύλιοι, αποτελούμενοι από μια αλυσίδα από τετράεδρα. Αρχικά, ο γραφίστας Wallace Walker σχεδίασε το σχηματισμό IsoAxis (U.S. Patent no. 3302321), ενώ ήταν ακόμα φοιτητής στο Cranbrook Academy of Art του Μίτσιγκαν (1958). Όταν ο δισδιάστατος σχηματισμός IsoAxis έπαιρνε την μορφή δακτυλίου, αυτός, καθώς αναδιπλωνόταν άλλαζε 4 διαφορετικές τρισδιάστατες μορφές. Μελετώντας τους μαθηματικούς μετασχηματισμούς που μεταμόρφωναν το IsoAxis στον "πολύμορφο" τρισδιάστατο δακτύλιο, η μαθηματικός Doris Schattschneider, οδηγήθηκε στην ανακάλυψη της απειράριθμης οικογένειας των καλειδόκυκλων. Η ονομασία τους (kaleidocycle) προέρχεται, όπως αναφέρουν και στο βιβλίο τους από τα ελληνικά καλός (good) + είδος (kind) + κύκλος (of cicle).

Περισσότερες πληροφορίες για τους καλειδόκυκλους, μπορείτε να αναζητήσετε στο βιβλίο των Doris Schattschneider και Wallace Walker, που συνοδεύεται με "κουτί κατασκευών" καλειδόκυκλων που "εκμεταλλεύονται" τις συμμετρίες των μωσαϊκών του M. C. Escher.

Εδώ απλώς να αναφέρουμε ότι στο βιντεο παραπάνω ο καλειδόκυκλος που δημιουργείται είναι εξαγωνικός, ενώ μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι οκταγωνικοί. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην αέναη περιστροφική κίνηση του καλειδόκυκλου.

Δείτε επίσης το http://www.mathematische-basteleien.de/kaleidocycles.htm