Δευτέρα, 7 Ιουλίου 2008

Λίγα μαθηματικά για την κατασκευή Νο 4

Το τετράεδρο είναι μια τριγωνική πυραμίδα.
Στο κανονικό τετράεδρο κάθε έδρα του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δηλαδή ένα τρίγωνο που έχει ίσες όλες τις γωνίες του και όλες τις πλευρές του.

4) Κατασκευάζοντας ένα κανονικό τετράεδρο


  • Παίρνουμε 2 ίσα τετράγωνα (που μπορούμε να τα κόψουμε από 2 ορθογώνια – κατασκευή Νο 1 του ιστολογίου)
  • Κάθε ένα το χωρίζουμε σε 3 ίσες λουρίδες (κατασκευή Νο 2 του ιστολογίου), έτσι ώστε να πάρουμε συνολικά 6 λουρίδες, μία για κάθε ακμή του τετραέδρου.
  • Δημιουργούμε από κάθε λουρίδα μία δομική μονάδα ακολουθώντας τα εξής βήματα:

  1. Διπλώνουμε τη λουρίδα στη μέση (σχ. 1)
  2. Ας συμφωνήσουμε ότι η λουρίδα έχει δύο διαφορετικά χρώματα στις όψεις της, π.χ. άσπρο και κόκκινο. Τότε φέρνοντας τα πλαϊνά άκρα προς τη μεσαία δίπλωση θα έχουμε μια νέα λουρίδα (διπλή) που είναι κόκκινη και στις δυο όψεις της. (σχήματα 2 και 3)
  3. «Τσιμπώντας» στη μέση το δεξί ορθογώνιο προχωρούμε στο σχηματισμό γωνίας 60 μοιρών όπως περιγράφεται και στην κατασκευή Νο 3. Το ίδιο κάνουμε και κάτω, αντίστροφα (σχήματα 3 και 4).
  4. Δημιουργούμε εσοχές και προεξοχές ως εξής: Τη γωνία επάνω δεξιά τη διπλώνουμε στη μέση έτσι ώστε να σχηματιστεί η διχοτόμος της. Την κορυφή της επάνω αριστερής γωνίας την κρύβουμε στο εσωτερικό της λουρίδας δημιουργώντας έτσι μια τσεπούλα – εσοχή (σχ. 6). Επαναλαμβάνουμε και στο κάτω μέρος αντίστροφα.
  5. Αφού ετοιμαστούν οι δομικές μονάδες, προχωρούμε στην συνένωσή τους. Παίρνοντας δύο μονάδες τοποθετούμε την προεξοχή της μιας στην εσοχή της άλλης. Τσακίζουμε ξανά τη διάμεσο για να «κλειδώσουν» (σχ. 7).
  6. Συνενώνουμε και μια τρίτη μονάδα στη δεύτερη. Έπειτα φέρνουμε την προεξοχή της πρώτης στην εσοχή της τρίτης μονάδας. Τσακίζουμε καλά τις διάμεσους για να «κλειδώσουν» οι μονάδες (σχ. 8).
    Ενώνοντας ανά τρεις τις μονάδες σχηματίζεται ένα κανονικό τετράεδρο.

Πηγές: http://kahuna.merrimack.edu/~thull/fit.html

Ποια μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 3;


  1. Παρατηρώντας στο σχ. 2 το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΕΑ (κίτρινου χρώματος), βλέπουμε ότι η υποτείνουσά του ΚΑ είναι διπλάσια από την κάθετη πλευρά του ΚΕ, επομένως η γωνία ΕΚΑ είναι 60 μοιρών.
  2. Από την άλλη, η τσάκιση ΚΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΚΝ (σχ. 4). Επειδή η γωνία ΑΚΝ είναι παραπληρωματική της ΒΔΝ, θα είναι γωνία 120 μοιρών, δηλαδή τα δύο μισά της θα είναι 60 μοίρες.

3) Κατασκευή γωνίας 60 μοιρών


  1. Παίρνουμε μια λουρίδα χαρτί (ορθογώνιο ΑΒΓΔ) και τη διπλώνουμε στη μέση (τσάκιση ΚΛ στο σχ. 1)
  2. Φέρνοντας την ΒΓ επάνω στην ΚΛ και τσακίζοντας, σχηματίζουμε τη διάμεσο ε του ορθογωνίου ΚΒΓΛ (σχ. 1).
  3. Μετακινούμε μόνο την κορυφή Α, κρατώντας σταθερό το ορθογώνιο ΚΒΓΛ, έτσι ώστε να πέσει επάνω στην ε και τσακίζουμε (σχ. 2).
  4. Φέρνουμε και την ΚΒ επάνω στην τελευταία τσάκιση (σχ. 3)
  5. Ανοίγοντας έχουν σχηματιστεί τρεις διαδοχικές γωνίες, όλες ίσες με 60 μοίρες (σχ. 4).