Τετάρτη, 11 Αυγούστου 2010

Από τον κύκλο στα κανονικά πολύγωνα με διπλώσεις

Μια αγαπημένη μου ενασχόληση είναι η εξής: Παίρνω κόλλες γλασέ ή χαρτιά περιτυλίγματος που έχουν διαφορετικό χρώμα σε κάθε όψη, σχεδιάζω με ένα CD κύκλους επάνω τους, τους κόβω, τους διπλώνω, τους κολλώ, για να σχηματίσω ψηφίδες σε σχήμα τετραγώνου, κανονικού εξαγώνου, ή ισόπλευρου τριγώνου. Μετά, αυτές τις ψηφίδες, τις χρησιμοποώ για να δημιουργήσω εντυπωσιακά μωσαϊκά όπως τα παρακάτω:





Αναγνωρίζετε τις ψηφίδες; Θα μπορούσατε κι εσείς να βρείτε τον τρόπο για να διπλώσετε τα κυκλικά χαρτιά και να τις κατασκευάσετε;

Στο άρθρο μου "Κανονικά πολύγωνα και γρίφοι χαρτοδιπλωτικής" που φιλοξενείται στην προσωπική μου ιστοσελίδα, θα βρείτε όλες τις απαντήσεις που ζητάτε.

Χαρούμενες δημιουργίες!

Κυριακή, 20 Ιουνίου 2010

Κινούμενοι κύβοι

Στο φιλμάκι παρακάτω, δίνονται οδηγίες για μια πολύ ενδιαφέρουσα χαρτοκατασκευή: Τους κινούμενους κύβους.



Η java εφαρμογή εδώ, παρουσιάζει την δισδιάστατη εκδοχή τους, "κινούμενα τετράγωνα". Μπορείτε να κινήσετε χειροκίνητα τον δρομέα "γωνία" ή να πατήσετε το κουμπί της εκτέλεσης κάτω αριστερά.
Εστιάστε στα επόμενα σημεία που παρουσιάζουν μαθηματικό ενδιαφέρον:
  • Εμφανίζονται τετράγωνα και ρόμβοι σε μεικτή πλακόστρωση του επιπέδου. Σε ποια θέση τα συγκεκριμένα τετράγωνα καλύπτουν, μαζί με τους ρόμους, τη μέγιστη επιφάνεια;
  • Η εναλλαγή των θέσεων των τετραγώνων δημιουργεί ένα χαρούμενο παιχνίδι με την αξονική συμμετρία (πεταλούδες και λουλούδια σε διάφορους σχηματισμούς).
  • Τέλος, στην κατάσταση της αυτόματης κίνησης, δημιουργείται η ψευδαίσθηση του κυματισμού των γραμμών. Βλέπουμε δηλαδή καμπύλες αντί για ευθύγραμμα τμήματα.

Δευτέρα, 5 Απριλίου 2010

Χαρτογλυπτική: Η λύση για τη λαμπάδα σας

Όπως κάθε χρονιά, έτσι και φέτος, οι πιστοί άναψαν τις λαμπάδες τους το βράδυ της Ανάστασης. Οι πιο προνοητικοί, φρόντισαν να περάσουν στη λαμπάδα τους ειδικά "ποτηράκια" που προφυλάσσουν από τα λιωμένα κεριά. Υποτίθεται δηλαδή, γιατί πολύ σύντομα διαπιστώνουν ότι το κερί ρέει ανενόχλητο μέσα από μεγάλα κενά, προς τα χέρια και τα ρούχα τους... Μεγάλο πρόβλημα! Κι όμως η λύση είναι απλή, εύκολη, οικονομική και ακούει στο όνομα "χαρτογλυπτική". Εξηγώ αμέσως:

Καταρχήν θα πρέπει όλοι να γνωρίζουμε το πώς κατασκευάζεται η παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου: Παίρνουμε έναν κυκλικό τομέα και ενώνουμε τις δυο ακτίνες όπως φαίνεται εδώ. Το απλούστερο λοιπόν θα ήταν να κατασκευάσουμε ένα κωνικό ποτηράκι για τη λαμπάδα μας. Όμως δεν θα μας προφυλάξει από τα κεριά, όσο εφαρμοστό κι αν είναι σ' αυτήν. Είναι προτιμότερο, το λιωμένο κερί να διοχετεύεται σε ένα ειδικό αυλάκι. Κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει με το ποτηράκι του παρακάτω σχήματος, που θυμίζει διπλό κώνο (αν θέλετε, διπλό κόλουρο κώνο).
Παρόλο που φαίνεται δύσκολη, αυτή η κατασκευή είναι πάρα-μα πάρα πολύ απλή:

1. Ξεκινήστε με ένα ημικύκλιο διαμέτρου 22 εκ. και σχεδιάστε δύο ομόκεντρα ημικύκλια διαμέτρων 1 εκ. και 10 εκ. Κατόπιν, κόψτε το μικρό ημικύκλιο (το 1εκ. διάμετρου) και χαράξτε με κάποιο αιχμηρό αντικείμενο (π.χ. με την ακίδα του διαβήτη) το μεσαίο ημικύκλιο (το 10 εκ. διαμέτρου). Το αποτέλεσμα θα είναι κάπως έτσι:
2. Τσακίστε στη διακεκομμένη γραμμή, ενώστε τα δύο άκρα με κόλλα ή συρραπτικό, για να κατασκευάσετε το επιθυμητό "χωνάκι".

3. Κάντε μερικές ψαλιδιές στο μικρό στόμιο για να περάσει άνετα η λαμπάδα σας μέσα από αυτό και είστε έτοιμοι για την Ανάσταση!

Σάββατο, 6 Μαρτίου 2010

Ένας χοροπηδηχτός μαθηματικός βάτραχος

Χοροπηδούν από φύλλο σε φύλλο, έχουν υπέροχο έντονο πράσινο χρώμα, τραγουδούν φουσκώνοντας τον λαιμό τους, γραπώνουν το θήραμά τους εκτοξεύοντας τη μακριά και κολλώδη γλώσσα τους... Αλήθεια, τα βατράχια είναι απίθανα πλάσματα!

Και όσο τα θαυμάζω, τόσο μου είναι αβάσταχτη η σκέψη ότι δεν έχουν και πολλή σχέση με τα μαθηματικά... Θα μπορούσα βέβαια να παραπέμψω σε μια κλασσική μαθηματική σπαζοκεφαλιά με τίτλο "βάτραχοι και φρύνοι" ή ακόμα και στο mathfrog... Σε τούτα τα δυο εξαντλείται η σχέση του βατράχου με τα μαθηματικά...

Αλλά ας μην είμαι βιαστική. Ο "χοροπηδηχτός βάτραχος" είναι μια από τις πιο αγαπημένες κατασκευές της χαρτοδιπλωτικής, γιατί... χοροπηδάει! Υπάρχουν πολλές προτάσεις κατασκευής "χοροπηδηχτών βατράχων". Απλά, αυτή που περιγράφεται στο επόμενο βίντεο δοκιμάστηκε με μεγάλη επιτυχία, όπως διαπιστώνετε και από τις εικόνες...



Αν ακόμα ψάχνετε τη σχέση του βατράχου με τα μαθηματικά, ας σκεφτείτε όλες αυτές τις συμμετρικές διπλώσεις και αναδιπλώσεις, αλλά κυρίως τα άλματα του βατράχου σας. Πόσο ψηλά είναι; Ποιο είναι το μήκος τους; Τι θα αλλάζατε για να βελτιώσετε την επίδοση του βατράχου σας;

Τετάρτη, 3 Μαρτίου 2010

Μια καρδιά από την 4η διάσταση

Όλοι γνωρίζουμε τον μύθο για τον Γόρδιο δεσμό. Δεν μπορούσε να λυθεί, γι' αυτό και ο Μέγας Αλέξανδρος τον... έκοψε, λέγοντας την περίφημη φράση, "όσα δε λύνονται κόβονται!"

Σήμερα, τέτοιοι δεσμοί, που δε λύνονται, είναι ιδιαίτερα αγαπητοί στον κλάδο της Τοπολογίας. Δείτε για παράδειγμα τον εικονιζόμενο.

Και όμως! Η ίδια η τοπολογία μας πληροφορεί ότι δε χρειάζεται να κοπεί ο παραπάνω δεσμός προκειμένου να λυθεί. Χρειάζεται ΜΟΝΟ να κινήσουμε τα χέρια μας στον τετραδιάστατο χώρο και θα καταφέρουμε μια χαρά να τον ξεμπερδέψουμε!

Ξέρω, δεν γνωρίζετε με ποιον τρόπο να κινήσετε τα χέρια σας στον τετραδιάστατο χώρο...
Ας αλλάξω τότε πρόκληση: Κινήστε τα χέρια σας στον τρισδιάστατο χώρο, για να φτιάξετε την καρδιά, όπως σας δείχνει το επόμενο βίντεο. Έπειτα, δώστε την σε κάποιο φίλο σας με την πρόκληση να "ξεμπερδέψει" τα δύο χαρτιά. Όσο και να προσπαθεί δε θα τα καταφέρει! Αν όμως θελήσει να "κόψει τα δεσμά" εσείς εμποδίστε τον, λέγοντάς του απλά: "Γιατί δε δοκιμάζεις να κινήσεις τα χέρια σου στον τετραδιάστατο χώρο;"