Τετάρτη, 2 Ιανουαρίου 2013

Περάστε έναν κύβο μέσα από έναν άλλο κύβο ίδιου μεγέθους

Το ζητούμενο είναι να κατασκευάσετε μια "τρύπα" σε έναν κύβο, αρκετά μεγάλη ώστε να χωράει να περάσει μέσα από αυτήν ένας κύβος του ίδιου μεγέθους.

Όχι... δεν αστειευόμαστε! Είναι κάτι που γίνεται, μάλιστα το πρόβλημα αυτό έχει πριγκιπική προέλευση. Το έθεσε ο πρίγκιπας Rupert (1619-1682), πρώτος ανηψιός του βασιλιά Καρόλου του 1ου της Αγγλίας και πρώτος θείος του  Γεωργίου του 1ου της Μεγάλης Βρετανίας. Αναφέρεται πως εκτός από καλός στρατηγός και πολεμιστής ήταν φιλομαθής, ασχολήθηκε με τις επιστήμες και τις τέχνες.

Ας δούμε λοιπόν την ενδιαφέρουσα λύση στο πρόβλημά του: Θεωρούμε έναν άξονα που διέρχεται από δύο κορυφές του κύβου που δεν είναι στην ίδια έδρα. Αυτός ο άξονας διέρχεται από το κέντρο του και μάλιστα, αν τμήσουμε το κύβο με επίπεδο κάθετο στον άξονα αυτό που να διέρχεται από το κέντρο του θα προκύψει ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρά a√2/2, όπου a είναι η ακμή του κύβου. Το μέγεθος αυτού του εξαγώνου είναι αρκετά μεγάλο, ώστε να "χωράει" ένα τετράγωνο πλευράς a στο εσωτερικό του. Συνεπώς, η "ζητούμενη τρύπα" είναι κάπως έτσι:

Και εδώ είναι το επιτυχές πέρασμα:

Μπορείτε να κατασκευάσετε κι εσείς τους δύο κύβους με τη βοήθεια του προτύπου που δημιούργησε ο Martin Raynsford.

Πηγές

Math Monday - Passing a Cube Through Another Cube - The Museum of Mathematics
Dürer's Magic Square, Cardano's Rings, Prince Rupert's Cube, and Other Neat Things, V. Frederick Rickey
Prince Rupert of the Rhine - Wikipedia
 

Τρίτη, 11 Δεκεμβρίου 2012

Ένα Χριστουγεννιάτικο φράκταλ δεντράκι


Στην διεύθυνση που αναγράφεται στις "Πηγές" θα βρείτε οδηγίες για το πώς να κατασκευάσετε ένα φράκταλ δεντράκι που:
  1. Θα έχει φύλλωμα ένα τετράεδρο του Sieprinski
  2. Θα έχει βάση ένα σπογγώδες του Meng
  3. Θα έχει κορυφή μια τρισδιάστατη χιονονιφάδα Van Koch.
Δείτε ένα υπέροχο τετράεδρο Sierpinski με χρώματα από το ουράνιο τόξο που κατασκεύασαν οι μαθητές από το Alexander Hamilton Middle School:

Πέμπτη, 5 Ιουλίου 2012

Μια αλυσίδα που γίνεται κύβος

Σας παρουσιάζω μια ωραία κατασκευή-σπαζοκεφαλιά που εντόπισα στον αγαπημένο μου ιστότοπο nrich maths:
Πρώτα, κόψτε 3 λουρίδες με 4 τετράγωνα και ζωγραφίστε τα ως ακολούθως:
Διπλώστε τις κοινές πλευρές των τετραγώνων, δίνοντας σε κάθε λουρίδα ένα πρισματικό σχήμα με τις ζωγραφιές στην εξωτερική επιφάνεια:




Πάρτε τώρα την πρώτη λουρίδα τετραγώνων και κολλήστε με ζελοτέιπ τις δύο μικρές απέναντι πλευρές της. Επαναλάβατε το ίδιο και με την τρίτη λουρίδα.
Η δεύτερη λουρίδα, θα περάσει πρώτα από τις δύο άλλες λουρίδες και έπειτα θα κλείσει και αυτή με ζελοτέιπ, δημιουργώντας μια διάταξη αλυσίδας στην κατασκευή, όπως φαίνεται στο πρώτο σχήμα παρακάτω:
Το ζητούμενο: προσπαθήστε να κινήσετε τους κρίκους κατάλληλα, ώστε να εισχωρήσουν ο ένας μέσα στον άλλον και να δημιουργήσετε έναν κύβο που θα έχει ζωγραφισμένες και τις 6 έδρες του.

Πηγή:

Κυριακή, 8 Απριλίου 2012

Μια κάρτα που δεν τελειώνει ποτέ

Οι "περίεργες" κάρτες πάντα με συγκινούν. Έχουν πολλά να πουν για τα μαθηματικά εκτός από τις ευχές που κλείνουν μέσα τους. Ψάχνοντας λοιπόν στο youtube, βρήκα μια μοναδική εκδοχή της "κάρτας που δεν τελειώνει ποτέ", πολύ διαφορετική από αυτήν που είχα βρει σε μαγαζάκι της Γερμανίας στην Freudenstadt. Με ενθουσίασε η απλότητά της, αλλά και το γεγονός ότι βασιζόταν στην δυϊκότητα ρόμβου και ορθογωνίου. Έτσι, βλέπουμε κάποια στιγμή, τις ίσες διαγώνιους του μικρού ορθογωνίου (στο εσωτερικό του μεγάλου) να γίνονται οι ίσες πλευρές του ρόμβου:


 Ας παρουσιάσω και τις δικές μου δημιουργίες: Φυσικά, δύο πασχαλινές καρτούλες, μια και το καλούν οι ημέρες:

Κυριακή, 18 Δεκεμβρίου 2011

Μαγικές Χριστουγεννιάτικες κάρτες

Είναι γεγονός ότι ο κόσμος έχει στραφεί προς την ηλεκτρονική κάρτα για να στείλει τις Χριστουγεννιάτικες ευχές του. Ένας εύκολος τρόπος και αρκετά εντυπωσιακός. Δεν παύει όμως να διατηρεί μια ζεστασιά η κλασσική χάρτινη κάρτα, που καταλήγει να στολίζει κάποια γωνιά του σπιτιού.

Σκέφτηκα να γράψω για μια παιχνιδιάρικη, μαγική κάρτα. Μαγική, γιατί ενώ παρουσιάζει μονάχα δύο όψεις, έχει κρυμμένες ακόμα δύο. Το τρικ επιτυγχάνεται με ένα τοπολογικό τέχνασμα, να ενώνεις με ζελοτέιπ το "μπροστά" με το "πίσω". Ας αφήσω τους γρίφους και ας γίνω συγκεκριμένη:

Τρίτη, 18 Οκτωβρίου 2011

Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική για την Τεχνολογία

Στο παρακάτω βίντεο παρακολουθείτε μια σύντομη ομιλία του Dr. Robert Lang, ο οποίος ασχολείται με "Υπολογιστική Χαρτοδιπλωτική". Αντικείμενο αυτού του σχετικά νέου επιστημονικού πεδίου είναι η συρρίκνωση του όγκου κάποιων κατασκευών, όπως ο αερόσακος στο αυτοκίνητο, το κάτοπτρο ενός τηλεσκοπίου, ένα ενέσιμο εμφύτευμα που θα πρέπει να απλωθεί στον οργανισμό μετά την είσοδό του, σώζοντας έτσι ζωές! Η ιδέα της εξοικονόμησης του χώρου μέσω της "Υπολογιστικής Χαρτοδιπλωτικής" εκτείνεται και στην νανοτεχνολογία: επιστήμονας στο Carltech ασχολείται με νανοδιπλώσεις, χρησιμοποιώντας DNA.



Σε κάποια άλλη ομιλία του, στο "Wired Science", ο Dr. Lang αναφέρει το εξής εντυπωσιακό, που αποδίδει την δυσκολία αυτών των κατασκευών: "Υπάρχει μια επιστήμη που μετράει τη δυσκολία και πολυπλοκότητα ενός προβλήματος, κατατάσσει την χαρτοδιπλωτική στα "NP complete" προβλήματα, δηλαδή τα πολύ-πολύ δύσκολα":

There is a study of complexity in math that rates the difficulty of certain problem.  Some problems are polynomial time, which is another way of saying "not too hard" and there are problems called NP complete, which are very-very hard! And both, packing laguage and folding up an origami crease patern, are NP complete problems; very-very hard!

Πηγή: Robert Lang folds way-new origami (TED ideas worth spreading)
Wired Science: Origami Master

Κυριακή, 1 Μαΐου 2011

Λουλούδια της Πρωτομαγιάς

Πρωτομαγιά σήμερα και τα λουλούδια είναι στις δόξες τους! Ας τους αφιερώσω λοιπόν αυτό το άρθρο, παρουσιάζοντας μια κατασκευή κάρτας, που όταν την ανοίγεις, αναπηδά ολόκληρο μπουκέτο μπροστά σου! Ιδού:




Η κατασκευή του ενός άνθους απαιτεί την δίπλωση ενός χαρτιού στη μέση, επί 3 φορές. Το αποτέλεσμα είναι μια οκταγωνική επίπεδη μαργαρίτα. Κόβοντας όμως το ένα πέταλο και κολλώντας τα δύο στην άκρη, η μαργαρίτα από επίπεδη γίνεται τρισδιάστατη. Δείτε πραγματικά, πόσο θυμίζει την παράπλευρη επιφάνεια εξαγωνικής πυραμίδας, που ακριβώς επειδή είναι χωρίς την βάση της, μπορεί όταν πιέζεται να γίνεται και πάλι επίπεδη. Αυτό είναι και το μικρό μυστικό της κάρτας: Η ίδια επιφάνεια, γίνεται επίπεδη η αποκτά όγκο! Έτσι, ξαφνιάζει τον καθένα μας το μπουκέτο που ξεπετάγεται...

Εγώ βέβαια, έκανα 1-2 παραλλαγές: Πρώτα απ' όλα, προτίμησα μικρότερα ανθάκια και πολύχρωμα, ώστε να θυμίζουν ανεμώνες (παρακάτω, βλέπετε το αποτέλεσμα). Έπειτα, χρησιμοποίησα το λογισμικό GeoGebra για να δημιουργήσω με ακρίβεια τις οκταγωνικές μαργαρίτες. Εδώ, μπορείτε να βρείτε το σχετικό αρχείο. Εκτυπώστε το σε διάφορα χρωματιστά χαρτιά. Όμως και πάλι, μην παραλείψετε τις διπλώσεις των πετάλων, καθώς αυτές βοηθούν στη "μηχανική" της κάρτας.


Καλή επιτυχία, Καλή Πρωτομαγιά!!!