Κινούμενοι κύβοι

Στο φιλμάκι παρακάτω, δίνονται οδηγίες για μια πολύ ενδιαφέρουσα χαρτοκατασκευή: Τους κινούμενους κύβους.



Η java εφαρμογή εδώ, παρουσιάζει την δισδιάστατη εκδοχή τους, "κινούμενα τετράγωνα". Μπορείτε να κινήσετε χειροκίνητα τον δρομέα "γωνία" ή να πατήσετε το κουμπί της εκτέλεσης κάτω αριστερά.

Εστιάστε στα επόμενα σημεία που παρουσιάζουν μαθηματικό ενδιαφέρον:

• Εμφανίζονται τετράγωνα και ρόμβοι σε μεικτή πλακόστρωση του επιπέδου. Σε ποια θέση τα συγκεκριμένα τετράγωνα καλύπτουν, μαζί με τους ρόμους, τη μέγιστη επιφάνεια;
• Η εναλλαγή των θέσεων των τετραγώνων δημιουργεί ένα χαρούμενο παιχνίδι με την αξονική συμμετρία (πεταλούδες και λουλούδια σε διάφορους σχηματισμούς).
• Τέλος, στην κατάσταση της αυτόματης κίνησης, δημιουργείται η ψευδαίσθηση του κυματισμού των γραμμών. Βλέπουμε δηλαδή καμπύλες αντί για ευθύγραμμα τμήματα.

Χαρτογλυπτική: Η λύση για τη λαμπάδα σας

Όπως κάθε χρονιά, έτσι και φέτος, οι πιστοί άναψαν τις λαμπάδες τους το βράδυ της Ανάστασης. Οι πιο προνοητικοί, φρόντισαν να περάσουν στη λαμπάδα τους ειδικά "ποτηράκια" που προφυλάσσουν από τα λιωμένα κεριά. Υποτίθεται δηλαδή, γιατί πολύ σύντομα διαπιστώνουν ότι το κερί ρέει ανενόχλητο μέσα από μεγάλα κενά, προς τα χέρια και τα ρούχα τους... Μεγάλο πρόβλημα! Κι όμως η λύση είναι απλή, εύκολη, οικονομική και ακούει στο όνομα "χαρτογλυπτική". Εξηγώ αμέσως:

Καταρχήν θα πρέπει όλοι να γνωρίζουμε το πώς κατασκευάζεται η παράπλευρη επιφάνεια ενός κώνου: Παίρνουμε έναν κυκλικό τομέα και ενώνουμε τις δυο ακτίνες όπως φαίνεται εδώ. Το απλούστερο λοιπόν θα ήταν να κατασκευάσουμε ένα κωνικό ποτηράκι για τη λαμπάδα μας. Όμως δεν θα μας προφυλάξει από τα κεριά, όσο εφαρμοστό κι αν είναι σ' αυτήν. Είναι προτιμότερο, το λιωμένο κερί να διοχετεύεται σε ένα ειδικό αυλάκι. Κάτι τέτοιο μπορεί να γίνει με το ποτηράκι του παρακάτω σχήματος, που θυμίζει διπλό κώνο (αν θέλετε, διπλό κόλουρο κώνο).

Παρόλο που φαίνεται δύσκολη, αυτή η κατασκευή είναι πάρα-μα πάρα πολύ απλή:

1. Ξεκινήστε με ένα ημικύκλιο διαμέτρου 22 εκ. και σχεδιάστε δύο ομόκεντρα ημικύκλια διαμέτρων 1 εκ. και 10 εκ. Κατόπιν, κόψτε το μικρό ημικύκλιο (το 1εκ. διάμετρου) και χαράξτε με κάποιο αιχμηρό αντικείμενο (π.χ. με την ακίδα του διαβήτη) το μεσαίο ημικύκλιο (το 10 εκ. διαμέτρου). Το αποτέλεσμα θα είναι κάπως έτσι:

2. Τσακίστε στη διακεκομμένη γραμμή, ενώστε τα δύο άκρα με κόλλα ή συρραπτικό, για να κατασκευάσετε το επιθυμητό "χωνάκι".

3. Κάντε μερικές ψαλιδιές στο μικρό στόμιο για να περάσει άνετα η λαμπάδα σας μέσα από αυτό και είστε έτοιμοι για την Ανάσταση!

Ένας χοροπηδηχτός μαθηματικός βάτραχος

Χοροπηδούν από φύλλο σε φύλλο, έχουν υπέροχο έντονο πράσινο χρώμα, τραγουδούν φουσκώνοντας τον λαιμό τους, γραπώνουν το θήραμά τους εκτοξεύοντας τη μακριά και κολλώδη γλώσσα τους... Αλήθεια, τα βατράχια είναι απίθανα πλάσματα!

Και όσο τα θαυμάζω, τόσο μου είναι αβάσταχτη η σκέψη ότι δεν έχουν και πολλή σχέση με τα μαθηματικά... Θα μπορούσα βέβαια να παραπέμψω σε μια κλασσική μαθηματική σπαζοκεφαλιά με τίτλο "βάτραχοι και φρύνοι" ή ακόμα και στο mathfrog... Σε τούτα τα δυο εξαντλείται η σχέση του βατράχου με τα μαθηματικά...

Αλλά ας μην είμαι βιαστική. Ο "χοροπηδηχτός βάτραχος" είναι μια από τις πιο αγαπημένες κατασκευές της χαρτοδιπλωτικής, γιατί... χοροπηδάει! Υπάρχουν πολλές προτάσεις κατασκευής "χοροπηδηχτών βατράχων". Απλά, αυτή που περιγράφεται στο επόμενο βίντεο δοκιμάστηκε με μεγάλη επιτυχία, όπως διαπιστώνετε και από τις εικόνες...

Αν ακόμα ψάχνετε τη σχέση του βατράχου με τα μαθηματικά, ας σκεφτείτε όλες αυτές τις συμμετρικές διπλώσεις και αναδιπλώσεις, αλλά κυρίως τα άλματα του βατράχου σας. Πόσο ψηλά είναι; Ποιο είναι το μήκος τους; Τι θα αλλάζατε για να βελτιώσετε την επίδοση του βατράχου σας;

Μια καρδιά από την 4η διάσταση

Όλοι γνωρίζουμε τον μύθο για τον Γόρδιο δεσμό. Δεν μπορούσε να λυθεί, γι' αυτό και ο Μέγας Αλέξανδρος τον... έκοψε, λέγοντας την περίφημη φράση, "όσα δε λύνονται κόβονται!"

Σήμερα, τέτοιοι δεσμοί, που δε λύνονται, είναι ιδιαίτερα αγαπητοί στον κλάδο της Τοπολογίας. Δείτε για παράδειγμα τον εικονιζόμενο.

Και όμως! Η ίδια η τοπολογία μας πληροφορεί ότι δε χρειάζεται να κοπεί ο παραπάνω δεσμός προκειμένου να λυθεί. Χρειάζεται ΜΟΝΟ να κινήσουμε τα χέρια μας στον τετραδιάστατο χώρο και θα καταφέρουμε μια χαρά να τον ξεμπερδέψουμε!

Ξέρω, δεν γνωρίζετε με ποιον τρόπο να κινήσετε τα χέρια σας στον τετραδιάστατο χώρο...

Ας αλλάξω τότε πρόκληση: Κινήστε τα χέρια σας στον τρισδιάστατο χώρο, για να φτιάξετε την καρδιά, όπως σας δείχνει το επόμενο βίντεο. Έπειτα, δώστε την σε κάποιο φίλο σας με την πρόκληση να "ξεμπερδέψει" τα δύο χαρτιά. Όσο και να προσπαθεί δε θα τα καταφέρει! Αν όμως θελήσει να "κόψει τα δεσμά" εσείς εμποδίστε τον, λέγοντάς του απλά: "Γιατί δε δοκιμάζεις να κινήσεις τα χέρια σου στον τετραδιάστατο χώρο;"

Paper Heart Pocket. Heart Mathematics . No Glue . Kirigami - For more of the funniest videos, click here

Το δωδεκάεδρο των Χριστουγέννων.

Πλησιάζουν τα Χριστούγεννα, η Πρωτοχρονιά, διακοσμούμε τα σπίτια μας με αστεράκια, έλατα, άλλα στολίδια, αγοράζουμε ημερολόγια για τη νέα τη χρονιά. Η ατμόσφαιρα λοιπόν, εμπνέει για κατασκευές.

...και υπάρχει ένα στερεό, που είναι πραγματικά καταπληκτικό για την περίοδο αυτή! Με μικρές παραλλαγές, μπορεί να γίνει ημερολόγιο ή και τρισδιάστατο αστέρι! Πρόκειται για το δωδεκάεδρο, το πλατωνικό στερεό που έχει 12 έδρες (εξ ού και δωδεκάεδρο), που η καθεμιά είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Και μόνο του έτσι, θυμίζει πολύ μια μπάλα για το χριστουγεννιάτικο δέντρο...

Το γεγονός όμως ότι έχει 12 έδρες, δηλαδή όσοι και οι μήνες του χρόνου, το έχει καταστήσει ως το ιδανικό στερεό για την κατασκευή ενός τρισδιάστατου ημερολόγιου. Και επειδή κάτι τέτοιο ακούγεται ενδιαφέρον, μπορείτε να κατεβάσετε ένα αρχείο από εδώ, για το ημερολόγιο του 2010.

Βέβαια, θα διαπιστώσετε ότι οι 12 έδρες δεν είναι "προνόμιο" μόνο του δωδεκάεδρου, αλλά και του ρομβοδωδεκάεδρου. Γι' αυτό και ο Ole Arnzen προτείνει συνολικά δύο μορφές ημερολογίων που μπορείτε να επιλέξετε από εδώ (ευτυχώς, μας σκέφτηκε και εμάς τους Έλληνες).

Υπάρχει όμως και μια τρίτη πρόταση, που απαιτεί μόνο κόψιμο (όχι διπλώσεις, όχι κόλα). Αυτή η πρόταση βασίζεται στην επέκταση του πενταγώνου σε μια ωραία πενταγωνική μαργαρίτα (παρακάτω σχήμα). Κόψετε 12 τέτοιες μαργαρίτες (τις έντονες γραμμές) και ενώστε τις, όπως περιγράφεται στο επόμενο βίντεο, για να δημιουργήσετε ένα τρισδιάστατο ημερολόγιο του 2010. Το πλήρες ημερολόγιο, με τις 12 μαργαρίτες, θα το βρείτε εδώ.

Φυσικά, μια πιο γνώριμη επέκταση του κανονικού πενταγώνου είναι η γνωστή πεντάλφα, δηλαδή το αστεράκι με τις 5 ακτίνες. Ενώστε τις ακτίνες αυτού του αστεριού και θα πάρετε μια πενταγωνική πυραμίδα. Κατασκευάστε 12 τέτοιες πυραμίδες, κολήστε τις σε ένα δωδεκάεδρο που οι έδρες του θα είναι ίσα πεντάγωνα με τις βάσεις των πυραμίδων και... θα έχετε ένα τρισδιάστατο αστέρι, έτοιμο για το δέντρο σας! Θα σας βοηθήσει και η πληροφορία εδώ. Πάντως, εμείς οι μαθηματικοί λέμε πως το αστέρι αυτό είναι η μικρή αστεροποίηση του δωδεκάεδρου.

Παιχνιδιάρικος κύβος

Crazy Star Cube ! Nice Paper - Watch more amazing videos here

Παρατηρήστε το παραπάνω βίντεο. Τα δύο μέρη του "παιχνιδιάρικου κύβου" μπορούν να "μεταμορφωθούν" σε δυο "στερεά του Escher". Πρόκειται για την "1η αστεροποίηση του ρομβοδωδεκάεδρου" που προκύπτει από το ρομβοδωδεκάεδρο με προέκταση των εδρών του. Το "στερεό του Escher" έχει την ιδιότητα να πληρώνει το χώρο, που σημαίνει ότι "άπειρα" αντίγραφά του, κατάλληλα τοποθετημένα, καλύπτουν χωρίς κενά ή επικαλύψεις, ολόκληρο το χώρο, όπως συμβαίνει και με τους κύβους.

Ένα μιρό σχόλιο για τη δομική μονάδα του "παιχνιδιάρικου κύβου" που εικονίζεται στο παραπάνω σχέδιο: Αν πούμε ότι η μισή πλευρά του τετραγώνου είναι α (2 στο βίντεο), τότε τα ισοσκελή τρίγωνα έχουν σκέλη ίσα με α*sqrt(3), επομένως, το ύψος τους είναι α*sqrt(2). Στο βίντεο αυτό το μήκος είναι 2,8 ενώ το σωστό θα ήταν 2,83.

Εδώ θα βρείτε οδηγίες για να κατασκευάσετε ένα "στερεό του Escher" με χαρτοδιπλωτική: http://www.origami.gr.jp/Archives/Etc/convention02/SR_Dodecahedron1.pdf
και εδώ θα βρείτε γενικότερα στοιχεία για τους παιχνιδιάρικους κύβους: http://www.mathematische-basteleien.de/magiccube.htm
http://www.math.nmsu.edu/~breakingaway/Lessons/MFC/MFC.html

Καλειδόκυκλοι από ένα φύλλο χαρτί

Οι καλειδόκυκλοι είναι τρισδιάστατοι δακτύλιοι, αποτελούμενοι από μια αλυσίδα από τετράεδρα. Αρχικά, ο γραφίστας Wallace Walker σχεδίασε το σχηματισμό IsoAxis (U.S. Patent no. 3302321), ενώ ήταν ακόμα φοιτητής στο Cranbrook Academy of Art του Μίτσιγκαν (1958). Όταν ο δισδιάστατος σχηματισμός IsoAxis έπαιρνε την μορφή δακτυλίου, αυτός, καθώς αναδιπλωνόταν άλλαζε 4 διαφορετικές τρισδιάστατες μορφές. Μελετώντας τους μαθηματικούς μετασχηματισμούς που μεταμόρφωναν το IsoAxis στον "πολύμορφο" τρισδιάστατο δακτύλιο, η μαθηματικός Doris Schattschneider, οδηγήθηκε στην ανακάλυψη της απειράριθμης οικογένειας των καλειδόκυκλων. Η ονομασία τους (kaleidocycle) προέρχεται, όπως αναφέρουν και στο βιβλίο τους από τα ελληνικά καλός (good) + είδος (kind) + κύκλος (of cicle).

Περισσότερες πληροφορίες για τους καλειδόκυκλους, μπορείτε να αναζητήσετε στο βιβλίο των Doris Schattschneider και Wallace Walker, που συνοδεύεται με "κουτί κατασκευών" καλειδόκυκλων που "εκμεταλλεύονται" τις συμμετρίες των μωσαϊκών του M. C. Escher.

Εδώ απλώς να αναφέρουμε ότι στο βιντεο παραπάνω ο καλειδόκυκλος που δημιουργείται είναι εξαγωνικός, ενώ μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι οκταγωνικοί. Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην αέναη περιστροφική κίνηση του καλειδόκυκλου.

Δείτε επίσης το http://www.mathematische-basteleien.de/kaleidocycles.htm