Λίγα μαθηματικά για την κατασκευή Νο 4

Το τετράεδρο είναι μια τριγωνική πυραμίδα.
Στο κανονικό τετράεδρο κάθε έδρα του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δηλαδή ένα τρίγωνο που έχει ίσες όλες τις γωνίες του και όλες τις πλευρές του.

4) Κατασκευάζοντας ένα κανονικό τετράεδρο

• Παίρνουμε 2 ίσα τετράγωνα (που μπορούμε να τα κόψουμε από 2 ορθογώνια – κατασκευή Νο 1 του ιστολογίου)
• Κάθε ένα το χωρίζουμε σε 3 ίσες λουρίδες (κατασκευή Νο 2 του ιστολογίου), έτσι ώστε να πάρουμε συνολικά 6 λουρίδες, μία για κάθε ακμή του τετραέδρου.
• Δημιουργούμε από κάθε λουρίδα μία δομική μονάδα ακολουθώντας τα εξής βήματα:
  
  
  

1. Διπλώνουμε τη λουρίδα στη μέση (σχ. 1)
2. Ας συμφωνήσουμε ότι η λουρίδα έχει δύο διαφορετικά χρώματα στις όψεις της, π.χ. άσπρο και κόκκινο. Τότε φέρνοντας τα πλαϊνά άκρα προς τη μεσαία δίπλωση θα έχουμε μια νέα λουρίδα (διπλή) που είναι κόκκινη και στις δυο όψεις της. (σχήματα 2 και 3)
3. «Τσιμπώντας» στη μέση το δεξί ορθογώνιο προχωρούμε στο σχηματισμό γωνίας 60 μοιρών όπως περιγράφεται και στην κατασκευή Νο 3. Το ίδιο κάνουμε και κάτω, αντίστροφα (σχήματα 3 και 4).
4. Δημιουργούμε εσοχές και προεξοχές ως εξής: Τη γωνία επάνω δεξιά τη διπλώνουμε στη μέση έτσι ώστε να σχηματιστεί η διχοτόμος της. Την κορυφή της επάνω αριστερής γωνίας την κρύβουμε στο εσωτερικό της λουρίδας δημιουργώντας έτσι μια τσεπούλα – εσοχή (σχ. 6). Επαναλαμβάνουμε και στο κάτω μέρος αντίστροφα.

5. Αφού ετοιμαστούν οι δομικές μονάδες, προχωρούμε στην συνένωσή τους. Παίρνοντας δύο μονάδες τοποθετούμε την προεξοχή της μιας στην εσοχή της άλλης. Τσακίζουμε ξανά τη διάμεσο για να «κλειδώσουν» (σχ. 7).
6. Συνενώνουμε και μια τρίτη μονάδα στη δεύτερη. Έπειτα φέρνουμε την προεξοχή της πρώτης στην εσοχή της τρίτης μονάδας. Τσακίζουμε καλά τις διάμεσους για να «κλειδώσουν» οι μονάδες (σχ. 8).
   Ενώνοντας ανά τρεις τις μονάδες σχηματίζεται ένα κανονικό τετράεδρο.

Πηγές: http://kahuna.merrimack.edu/~thull/fit.html

Ποια μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 3;

1. Παρατηρώντας στο σχ. 2 το ορθογώνιο τρίγωνο ΚΕΑ (κίτρινου χρώματος), βλέπουμε ότι η υποτείνουσά του ΚΑ είναι διπλάσια από την κάθετη πλευρά του ΚΕ, επομένως η γωνία ΕΚΑ είναι 60 μοιρών.
2. Από την άλλη, η τσάκιση ΚΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΚΝ (σχ. 4). Επειδή η γωνία ΑΚΝ είναι παραπληρωματική της ΒΔΝ, θα είναι γωνία 120 μοιρών, δηλαδή τα δύο μισά της θα είναι 60 μοίρες.

3) Κατασκευή γωνίας 60 μοιρών

1. Παίρνουμε μια λουρίδα χαρτί (ορθογώνιο ΑΒΓΔ) και τη διπλώνουμε στη μέση (τσάκιση ΚΛ στο σχ. 1)
2. Φέρνοντας την ΒΓ επάνω στην ΚΛ και τσακίζοντας, σχηματίζουμε τη διάμεσο ε του ορθογωνίου ΚΒΓΛ (σχ. 1).
3. Μετακινούμε μόνο την κορυφή Α, κρατώντας σταθερό το ορθογώνιο ΚΒΓΛ, έτσι ώστε να πέσει επάνω στην ε και τσακίζουμε (σχ. 2).
4. Φέρνουμε και την ΚΒ επάνω στην τελευταία τσάκιση (σχ. 3)
5. Ανοίγοντας έχουν σχηματιστεί τρεις διαδοχικές γωνίες, όλες ίσες με 60 μοίρες (σχ. 4).

Ποια Μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 2;

Τα δύο κίτρινα τρίγωνα που σχηματίζονται είναι όμοια (έχουν ίσες γωνίες). Όμως το «πάνω» τρίγωνο έχει διπλάσια βάση από το «κάτω». Έτσι και το ύψος ΚΑ του «πάνω» τριγώνου θα είναι διπλάσιο από το ύψος ΚΒ του «κάτω» τριγώνου. Δηλαδή το ΚΒ είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου. Παρατηρήστε επίσης ότι ΚΓ = ΚΑ και ΚΔ = ΚΒ, που σημαίνει ότι και το ΚΔ είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου.

2) Διαίρεση τετραγώνου σε τρία ίσα ορθογώνια

1. Αρχικά τσακίζουμε μια διαγώνιο και μια διάμεσο του τετραγώνου.
2. Έπειτα τσακίζουμε τη διαγώνιο του ενός ορθογωνίου που τέμνει την διαγώνιο του τετραγώνου σε εσωτερικό σημείο.
3. Το σημείο αυτό είναι το κομβικό σημείο που με τσάκιση παράλληλη προς μία από τις πλευρές του τετραγώνου ορίζει ορθογώνιο που η μια πλευρά του είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου.

Ποια Μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 1;

1. Με το πρώτο βήμα δημιουργήσαμε τη διχοτόμο της ορθής γωνίας. Έτσι το τριγωνικό κομμάτι που προέκυψε έχει οξεία γωνία 45ο, επομένως είναι ισοσκελές ορθογώνιο.
2. Με την δίπλωση και το κόψιμο του ορθογωνίου κατασκευάσαμε ένα δεύτερο ισοσκελές ορθογώνιο, συμμετρικό με το πρώτο ως προς την υποτείνουσά του.
3. Το σχήμα που προκύπτει, επειδή είναι συγχρόνως και ορθογώνιο (παραλληλόγραμμο με ορθή γωνία) και ρόμβος (παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες), είναι τετράγωνο.

1) Από το Ορθογώνιο στο Τετράγωνο

Για να κόψουμε ένα τέλειο τετράγωνο από μια κόλλα χαρτί μεγέθους Α4 ακολουθούμε τα εξής τρία βήματα (που εικονίζονται και στο σχήμα):

1. επιλέγουμε π.χ. την επάνω αριστερή (ορθή) γωνία και διπλώνουμε έτσι ώστε οι πλευρές της (δύο διαδοχικές πλευρές της κόλλας) να συμπέσουν η μία πάνω στην άλλη.
2. το ορθογώνιο που δεν καλύπτεται από το τριγωνικό κομμάτι της προηγούμενης δίπλωσης αφού διπλωθεί πολύ καλά αφαιρείται.
3. Ανοίγουμε το διπλωμένο χαρτί και έχουμε το τετράγωνο.