Ποια Μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 2;

Τα δύο κίτρινα τρίγωνα που σχηματίζονται είναι όμοια (έχουν ίσες γωνίες). Όμως το «πάνω» τρίγωνο έχει διπλάσια βάση από το «κάτω». Έτσι και το ύψος ΚΑ του «πάνω» τριγώνου θα είναι διπλάσιο από το ύψος ΚΒ του «κάτω» τριγώνου. Δηλαδή το ΚΒ είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου. Παρατηρήστε επίσης ότι ΚΓ = ΚΑ και ΚΔ = ΚΒ, που σημαίνει ότι και το ΚΔ είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου.

2) Διαίρεση τετραγώνου σε τρία ίσα ορθογώνια

1. Αρχικά τσακίζουμε μια διαγώνιο και μια διάμεσο του τετραγώνου.
2. Έπειτα τσακίζουμε τη διαγώνιο του ενός ορθογωνίου που τέμνει την διαγώνιο του τετραγώνου σε εσωτερικό σημείο.
3. Το σημείο αυτό είναι το κομβικό σημείο που με τσάκιση παράλληλη προς μία από τις πλευρές του τετραγώνου ορίζει ορθογώνιο που η μια πλευρά του είναι το 1/3 της πλευράς του τετραγώνου.

Ποια Μαθηματικά κρύβονται πίσω από την κατασκευή No 1;

1. Με το πρώτο βήμα δημιουργήσαμε τη διχοτόμο της ορθής γωνίας. Έτσι το τριγωνικό κομμάτι που προέκυψε έχει οξεία γωνία 45ο, επομένως είναι ισοσκελές ορθογώνιο.
2. Με την δίπλωση και το κόψιμο του ορθογωνίου κατασκευάσαμε ένα δεύτερο ισοσκελές ορθογώνιο, συμμετρικό με το πρώτο ως προς την υποτείνουσά του.
3. Το σχήμα που προκύπτει, επειδή είναι συγχρόνως και ορθογώνιο (παραλληλόγραμμο με ορθή γωνία) και ρόμβος (παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες), είναι τετράγωνο.

1) Από το Ορθογώνιο στο Τετράγωνο

Για να κόψουμε ένα τέλειο τετράγωνο από μια κόλλα χαρτί μεγέθους Α4 ακολουθούμε τα εξής τρία βήματα (που εικονίζονται και στο σχήμα):

1. επιλέγουμε π.χ. την επάνω αριστερή (ορθή) γωνία και διπλώνουμε έτσι ώστε οι πλευρές της (δύο διαδοχικές πλευρές της κόλλας) να συμπέσουν η μία πάνω στην άλλη.
2. το ορθογώνιο που δεν καλύπτεται από το τριγωνικό κομμάτι της προηγούμενης δίπλωσης αφού διπλωθεί πολύ καλά αφαιρείται.
3. Ανοίγουμε το διπλωμένο χαρτί και έχουμε το τετράγωνο.